先日ある会社（クライアント）とスケジュールを提出したのち契約を結んだのですが、

クライアントからの構成・素材の提出が３週間遅れ、
作業日数が半分になっている状況です

５回ほどこちらから催促をし、３回注意し、このままでは特急料金がかかると再三いいましたが、
クライアントは全く応答なし、その後も平気で遅れてくる
最終的に「特急料金を請求する」（契約時にクライアント都合でのスケジュール遅延の場合請求すると伝えてある）というと

「それは難しい」ととにかく「こちらのミス」だと電話口でひたすら謝られました。

「社内の人間関係の問題で社長ワンマンなので、社長にミスを知られたくない、なので社長にこのことを話せない…」と意味がわからないことを言い始めました。

口約束で違約金は払う、納期は変更すると言ってますが、
遅延に対する契約内容の変更（納期の変更、金額の変動）は出来ないといわれております。

また、ただ謝るだけで何も対策をしようとしません。

相手はぜひあなたにお願いしたいと言っていますが、
もうこれはこちらから契約を打ち切ると言うしかないのでしょうか

相手は部長の印は押せるかもしれないが社長は無理だと言っています。

皆様なら口約束のみの会社を信用できますか？

契約しているのは会社であってミスをした社員ではないので、
社長宛に現状を説明する内容を送るしかないのでしょうか